نظرية الحد المركزي (Central Limit Theorem CLT)

ما هي نظرية الحد المركزي (Central Limit Theorem CLT)؟

في نظرية الاحتمالات، تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أن توزيع العينة سوف يقترب من التوزيع الطبيعي (أي منحنى الجرس) عندما يصبح حجم العينة أكبر، بغض النظر عن شكل توزيع السكان الفعلي.
وبعبارة أخرى، فإن نظرية التباين الكلي هي فرضية إحصائية مفادها أنه في حالة وجود حجم عينة كبير بما فيه الكفاية من مجموعة سكانية ذات مستوى محدود من التباين، فإن متوسط جميع المتغيرات التي تم أخذ عينات منها من نفس المجموعة السكانية سيكون مساويًا تقريبًا لمتوسط المجموعة السكانية بأكملها. وعلاوة على ذلك، فإن هذه العينات ستقترب من التوزيع الطبيعي، حيث تكون تبايناتها مساوية تقريبًا لتباين المجموعة السكانية مع زيادة حجم العينة، وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة.

ملخص لأهم النقاط

• تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أن توزيع متوسطات العينة يقترب من التوزيع الطبيعي عندما يصبح حجم العينة أكبر، بغض النظر عن توزيع السكان.
• يمكن لحجم العينة الكبير بدرجة كافية أن يتنبأ بخصائص السكان بشكل أكثر دقة.
• غالبًا ما يُعتبر حجم العينة الذي يساوي 30 أو أكبر كافيًا لنجاح نظرية الحد المركزي.
• أحد الجوانب الرئيسية لـ نظرية الحد المركزي هو أن متوسط متوسطات العينة والانحرافات المعيارية سيكون مساويًا لمتوسط السكان والانحراف المعياري.
• تُعد نظرية الحد المركزي مفيدة في التمويل والاستثمار عند تحليل مجموعة كبيرة من الأوراق المالية لتقدير توزيعات المحفظة وسماتها للعائدات والمخاطر والارتباط.

فهم نظرية الحد المركزي (CLT)

وفقًا لنظرية الحد المركزي، فإن متوسط عينة البيانات سيكون أقرب إلى متوسط إجمالي السكان المعنيين مع زيادة حجم العينة، بغض النظر عن التوزيع الفعلي للبيانات. يمكن أن يكون المفهوم صحيحًا بغض النظر عما إذا كان توزيع السكان طبيعيًا أو منحرفًا.¹
كقاعدة عامة، عادة ما تعتبر أحجام العينات التي تبلغ 30 أو أكثر كافية لاحتواء نظرية الحد المركزي، مما يعني أن توزيع متوسطات العينة يكون موزعًا بشكل طبيعي إلى حد ما. بالإضافة إلى ذلك، كلما زاد عدد العينات التي يتم أخذها، كلما كان من المفترض أن تتخذ النتائج المرسومة بيانيًا شكل توزيع طبيعي.²
غالبًا ما تُستخدم نظرية الحد المركزي جنبًا إلى جنب مع قانون الأعداد الكبيرة، الذي ينص على أن متوسط متوسطات العينة سيقترب من معادلة متوسط السكان مع نمو حجم العينة. يمكن أن يكون هذا المفهوم مفيدًا للغاية في التنبؤ بدقة بخصائص السكان الكبار جدًا.
على الرغم من أن هذا المفهوم تم تطويره لأول مرة من قبل أبراهام دي موافر في عام 1733، إلا أنه لم يتم إضفاء الطابع الرسمي عليه حتى عام 1920، عندما أطلق عليه عالم الرياضيات المجري جورج بوليا اسم نظرية الحد المركزي.^{3 4}

المكونات الرئيسية لنظرية الحد المركزي

تتكون نظرية الحد المركزي من عدة مكونات رئيسية، وهي تدور بشكل أساسي حول تقنية أخذ العينات.

1. العينة متتالية: وهذا يعني أن بعض وحدات العينة مشتركة مع وحدات العينة المختارة في مناسبات سابقة.
2. يتم اختيار العينة بشكل عشوائي: يجب اختيار جميع العينات بشكل عشوائي حتى يكون لها نفس الاحتمالية الإحصائية للاختيار.
3. يجب أن تكون العينات مستقلة: يجب ألا يكون للاختيارات أو النتائج من عينة واحدة أي تأثير على العينات المستقبلية أو نتائج العينات الأخرى.
4. حجم العينة كبير: مع زيادة حجم العينة، يجب أن يصبح توزيع العينة أقرب إلى التوزيع الطبيعي.

نظرية الحد المركزي في التمويل والاستثمار

يمكن أن تكون نظرية الحد المركزي مفيدة في فحص عوائد الأسهم الفردية أو مؤشرات الأسهم الواسعة لأن التحليل بسيط، وذلك بسبب السهولة النسبية لتوليد البيانات المالية اللازمة. وبالتالي، يعتمد المستثمرون غالبًا على نظرية الحد المركزي لتحليل عوائد الأسهم، وبناء محافظ الاستثمار، وإدارة المخاطر.
لنفترض على سبيل المثال أن أحد المستثمرين يرغب في تحليل العائد الإجمالي لمؤشر أسهم يتكون من 1000 سهم مختلف. في هذا السيناريو، قد يدرس المستثمر ببساطة عينة عشوائية من الأسهم للوصول إلى عائد تقديري للمؤشر الإجمالي. ولكي نكون آمنين في هذه الحالة، يجب أخذ عينات من 30 إلى 50 سهمًا على الأقل تم اختيارها عشوائيًا من قطاعات مختلفة حتى تتحقق نظرية الحد المركزي.

أسئلة شائعة

لماذا تعتبر نظرية الحد المركزي مفيدة؟

تعتبر نظرية الحد المركزي مفيدة عند تحليل مجموعات البيانات الكبيرة لأنها تسمح للمرء بافتراض أن توزيع العينة للمتوسط سيكون موزعًا بشكل طبيعي في معظم الحالات. وهذا يسمح بتحليل إحصائي واستنتاج أسهل. على سبيل المثال، يمكن للمستثمرين استخدام نظرية الحد المركزي لتجميع بيانات أداء الأوراق المالية الفردية وتوليد توزيع متوسطات العينة التي تمثل توزيعًا سكانيًا أكبر لعائدات الأوراق المالية على مدى فترة زمنية.

ما هي صيغة نظرية الحد المركزي؟

لا توجد صيغة تستخدم في تطبيق نظرية الحد المركزي في التطبيق العملي. فمبدأها بسيط للغاية. فمع حجم عينة كبير بما فيه الكفاية، سيقترب توزيع العينة من التوزيع الطبيعي، وسيقترب متوسط العينة من متوسط المجتمع. وهذا يشير إلى أنه إذا كان حجم العينة 30 على الأقل، فيمكننا أن نبدأ في تحليل البيانات كما لو كانت تتناسب مع التوزيع الطبيعي.

لماذا يكون الحد الأدنى لحجم العينة في نظرية الحد المركزي 30؟

حجم العينة الذي يبلغ 30 أو أكثر هو أمر شائع إلى حد ما في جميع الإحصاءات باعتباره الحد الأدنى لتطبيق نظرية الحد المركزي. وكلما زاد حجم العينة، زادت احتمالية تمثيل العينة لمجموعة السكان لديك.

ما هو قانون الأعداد الكبيرة؟

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه كلما كان حجم العينة أكبر، كلما زادت احتمالية أن يعكس متوسطها متوسط السكان بأكمله.
في مجال الأعمال، قد يكون لقانون الأعداد الكبيرة معنى مختلف، وتحديدًا عندما تنمو الشركة في الحجم، يصبح الحفاظ على معدل نموها من حيث النسبة المئوية أكثر صعوبة.

الخلاصة

تنص نظرية الحد المركزي على أنه كلما زاد حجم العينة، فإن متوسطها سيقترب بشكل متزايد من المتوسط في التوزيع الطبيعي. يمكن أن يكون هذا المفهوم مفيدًا في العديد من التطبيقات، مثل تحليل عوائد الاستثمار، لأنه يتطلب فقط حجم عينة كافٍ (يُفسر عمومًا على أنه 30 نقطة بيانات أو أكثر) بدلًا من السكان بالكامل.

1. Boston University School of Public Health. “Central Limit Theorem.“
2. Boston University School of Public Health. “Central Limit Theorem.“
3. Hans Fischer. “A History of the Central Limit Theorem,” Page 1.
4. The Mathematics Enthusiast. “Studying Moments of the Central Limit Theorem, Benjamin A. Stark.”