توزيع طبيعي (Normal Distribution)

ما هو التوزيع الطبيعي (Normal Distribution)؟

التوزيع الطبيعي – المعروف أيضًا باسم التوزيع الغوسي – هو توزيع احتمالي متماثل حول المتوسط، يُظهر أن البيانات القريبة من المتوسط تكون أكثر تكرارًا من البيانات البعيدة عن المتوسط. في شكل الرسم البياني، سيظهر التوزيع الطبيعي على شكل “منحنى الجرس”.

ملخص لأهم النقاط

• التوزيع الطبيعي هو المصطلح المناسب لمنحنى الجرس الاحتمالي.
• في التوزيع الطبيعي، يكون المتوسط صفراً والانحراف المعياري هو 1. وله انحراف صفري وتفرطح 3.
• كل التوزيعات الطبيعية متماثلة، لكن ليست كل التوزيعات المتماثلة طبيعية.
• تميل العديد من الظواهر التي تحدث بشكل طبيعي إلى الاقتراب من التوزيع الطبيعي.
• في مجال التمويل، لا تكون معظم توزيعات الأسعار طبيعية تمامًا.

مفهوم التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي هو النوع الأكثر شيوعًا للتوزيع المفترض في التحليل الفني لسوق الأوراق المالية وأنواع أخرى من التحليلات الإحصائية. يحتوي التوزيع العادي القياسي على معلمتين: المتوسط والانحراف المعياري. بالنسبة للتوزيع الطبيعي، تقع 68% من الملاحظات ضمن +/- انحراف معياري واحد للمتوسط، و95% ضمن +/- انحرافين معياريين، و99.7% ضمن + – ثلاثة انحرافات معيارية.
نموذج التوزيع الطبيعي مدفوع بنظرية الحدود المركزية. تنص هذه النظرية على أن المتوسطات المحسوبة من متغيرات عشوائية مستقلة وموزعة بشكل مماثل لها توزيعات عادية تقريبًا، بغض النظر عن نوع التوزيع الذي يتم أخذ عينات منه (بشرط أن يكون له تباين محدود). أحيانًا يتم الخلط بين التوزيع الطبيعي والتوزيع المتماثل. التوزيع المتماثل هو التوزيع الذي ينتج فيه الخط الفاصل صورتين متطابقتين، لكن البيانات الفعلية يمكن أن تكون حدبتين أو سلسلة من التلال بالإضافة إلى منحنى الجرس الذي يشير إلى التوزيع الطبيعي.

خصائص التوزيع الطبيعي

يحتوي التوزيع الطبيعي على العديد من الميزات والخصائص الأساسية التي تحدده.
أولاً، متوسطها (المتوسط)، والوسيط (نقطة الوسط)، والوضع (الملاحظة الأكثر شيوعًا) كلها متساوية مع بعضها البعض. علاوة على ذلك، تمثل هذه القيم جميعًا ذروة أو أعلى نقطة للتوزيع. ثم يقع التوزيع بشكل متماثل حول الوسط، والذي يتم تحديد عرضه من خلال الانحراف المعياري.
يعد نموذج التوزيع الطبيعي عنصرًا أساسيًا في نظرية الحد المركزي (CLT) التي تنص على أن المتوسطات المحسوبة من متغيرات عشوائية مستقلة موزعة بشكل متطابق لها توزيعات طبيعية تقريبًا، بغض النظر عن نوع التوزيع الذي يتم أخذ العينات منه.¹
التوزيع الطبيعي هو أحد أنواع التوزيع المتماثل. تحدث التوزيعات المتماثلة عندما ينتج خط فاصل صورتين متماثلتين. ليست كل التوزيعات المتماثلة طبيعية حيث يمكن أن تظهر بعض البيانات على شكل حدبتين أو سلسلة من التلال بالإضافة إلى منحنى الجرس الذي يشير إلى التوزيع الطبيعي.

ملاحظة: يمكن وصف جميع التوزيعات العادية بمعاملتين فقط: المتوسط ​​والانحراف المعياري.

القاعدة التجريبية

بالنسبة لجميع التوزيعات العادية، سيظهر 68.2% من الملاحظات ضمن انحراف معياري واحد للمتوسط ​​زائد أو ناقص؛ 95.4% من المشاهدات تقع ضمن +/- انحرافين معياريين؛ و 99.7% ضمن +/- ثلاثة انحرافات معيارية. يشار إلى هذه الحقيقة أحيانًا باسم “القاعدة التجريبية”، وهي عبارة عن إرشاد يصف مكان ظهور معظم البيانات في التوزيع العادي.
هذا يعني أن البيانات التي تقع خارج ثلاثة انحرافات معيارية (“3-sigma”) من شأنها أن تدل على حدوث حالات نادرة.

• انحراف

الانحراف يقيس تماثل التوزيع. التوزيع الطبيعي متماثل وانحرافه يساوي الصفر. إذا كان توزيع مجموعة البيانات به انحراف أقل من الصفر، أو انحراف سلبي، فإن الذيل الأيسر للتوزيع أطول من الذيل الأيمن؛ يشير الانحراف الإيجابي إلى أن الذيل الأيمن للتوزيع أطول من اليسار.

• تفرطح

يقيس إحصاء التفرطح سمك أطراف الذيل للتوزيع بالنسبة إلى ذيول التوزيع الطبيعي. تُظهر التوزيعات ذات التفرطح الكبير بيانات الذيل التي تتجاوز ذيول التوزيع الطبيعي (على سبيل المثال، خمسة أو أكثر من الانحرافات المعيارية عن الوسط). تُظهر التوزيعات ذات التفرطح المنخفض بيانات الذيل التي تكون عمومًا أقل تطرفًا من ذيول التوزيع الطبيعي. يحتوي التوزيع الطبيعي على ثلاثة تفرطح، مما يشير إلى أن التوزيع ليس له ذيل دهني ولا رفيع. لذلك، إذا كان التوزيع المرصود يحتوي على تفرطح أكبر من ثلاثة، يُقال أن للتوزيع ذيول ثقيلة عند مقارنته بالتوزيع الطبيعي. إذا كان التوزيع يحتوي على تفرطح أقل من ثلاثة، فيُقال إن ذيول رفيعة مقارنة بالتوزيع الطبيعي.

معادلة التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي يتبع الصيغة التالية. لاحظ أن قيم المتوسط ​​(μ) والانحراف المعياري (σ) ضرورية فقط

حيث أن:

x = قيمة المتغير أو البيانات التي يتم فحصها وf(x)o دالة الاحتمال

μ = المتوسط

σ = الانحراف المعياري

كيف يتم استخدام التوزيع الطبيعي في التمويل

يتم تطبيق افتراض التوزيع الطبيعي على أسعار الأصول بالإضافة إلى حركة السعر. قد يرسم المتداولون نقاط السعر بمرور الوقت ليناسب حركة السعر الأخيرة في التوزيع الطبيعي. تتحرك الأسعار الإضافية من الوسط، في هذه الحالة، كلما زاد احتمال زيادة قيمة الأصل أو التقليل من قيمته. يمكن للتجار استخدام الانحرافات المعيارية لاقتراح صفقات محتملة. يتم إجراء هذا النوع من التداول عمومًا على أطر زمنية قصيرة جدًا حيث تجعل الجداول الزمنية الكبيرة من الصعب جدًا اختيار نقاط الدخول والخروج.
وبالمثل، تحاول العديد من النظريات الإحصائية وضع نماذج لأسعار الأصول على افتراض أنها تتبع التوزيع الطبيعي. في الواقع، تميل توزيعات الأسعار إلى أن يكون لها ذيل سمين، وبالتالي يكون التفرطح أكبر من ثلاثة. وقد شهدت هذه الأصول حركات أسعار أكبر من ثلاثة انحرافات معيارية تتجاوز المتوسط في كثير من الأحيان أكثر مما هو متوقع في ظل افتراض التوزيع الطبيعي. حتى إذا مر أحد الأصول بفترة طويلة حيث يناسب التوزيع الطبيعي، فليس هناك ما يضمن أن الأداء السابق يُعلم حقًا الآفاق المستقبلية.

مثال على التوزيع الطبيعي

يبدو أن العديد من الظواهر التي تحدث بشكل طبيعي موزعة بشكل طبيعي. خذ على سبيل المثال توزيع طول البشر. تم العثور على متوسط ​​الطول حوالي 175 سم (5 ‘9’)، مع عد كل من الذكور والإناث.
كما يوضح الرسم البياني أدناه، يتوافق معظم الأشخاص مع هذا المتوسط. وفي الوقت نفسه، يوجد الأشخاص الأطول والأقصر، ولكن مع تواتر متناقص في عدد السكان. وفقًا للقاعدة التجريبية، سوف يسقط 99.7% من جميع الأشخاص بمقدار +/- ثلاثة انحرافات معيارية للمتوسط ​​، أو بين 154 سم (5 ‘0 “) و 196 سم (6’ 5”). هؤلاء الأطول والأقصر من هذا سيكون نادرًا جدًا (0.15 % فقط من السكان).

أسئلة شائعة

ما المقصود بالتوزيع الطبيعي؟

يصف التوزيع الطبيعي مخططًا متماثلًا للبيانات حول قيمتها المتوسطة، حيث يتم تحديد عرض المنحنى بواسطة الانحراف المعياري. يتم تصويره بشكل مرئي على أنه “منحنى الجرس”.

لماذا يسمى التوزيع الطبيعي “عادي”؟

يُعرف التوزيع الطبيعي تقنيًا باسم التوزيع الغاوسي، إلا أنه اتخذ المصطلح “العادي” بعد المنشورات العلمية في القرن التاسع عشر التي تظهر أن العديد من الظواهر الطبيعية بدت وكأنها “تنحرف بشكل طبيعي” عن المتوسط. أصبحت فكرة “التباين الطبيعي” شائعة على أنها “المنحنى الطبيعي” من قبل عالم الطبيعة السير فرانسيس جالتون في عمله عام 1889، الميراث الطبيعي.²

ما هي حدود التوزيع الطبيعي في التمويل؟

على الرغم من أن التوزيع الطبيعي هو مفهوم إحصائي مهم للغاية، إلا أن تطبيقاته في التمويل يمكن أن تكون محدودة لأن الظواهر المالية – مثل عوائد سوق الأسهم المتوقعة – لا تقع بدقة ضمن التوزيع الطبيعي. في الواقع، تميل الأسعار إلى اتباع توزيع لوغاريتمي عادي يميل إلى اليمين وذو ذيل أكثر سمنة. لذلك، فإن الاعتماد بشكل كبير على منحنى الجرس عند إجراء تنبؤات حول هذه الأحداث يمكن أن يؤدي إلى نتائج غير موثوقة. على الرغم من أن معظم المحللين يدركون جيدًا هذا القيد، إلا أنه من الصعب نسبيًا التغلب على هذا القصور لأنه غالبًا ما يكون من غير الواضح أي توزيع إحصائي يجب استخدامه كبديل.

الخلاصة

التوزيع الطبيعي، المعروف أيضًا باسم التوزيع الغاوسي، هو توزيع احتمالي يظهر على شكل “منحنى جرسي” عند رسمه بيانيًا. يصف التوزيع الطبيعي رسمًا متماثلًا للبيانات حول متوسط ​​قيمتها، حيث يتم تحديد عرض المنحنى بالانحراف المعياري.

1. Boston University. “The Central Limit Theorem.“
2. DePaul University. “NORMAL Distribution: Origin of the name.“